Question

求下列雙曲線的標準方程：
（1）過點（3，-1），漸近線方程是y=±3x；
（2）與橢圓有相同的焦點，且離心率為．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，雙曲線的漸近線方程是y=±3x，可設雙曲線方程為 9x²-y²=λ（λ≠0），又由雙曲線過點（3，-1），將點P的坐標代入可得λ的值，進而可得答案．
（2）由橢圓的性質，可得橢圓 的焦點坐標，由雙曲線的離心率可設雙曲線方程為為 y²-x²=a²（a＞0），則可得a的值，進而可得雙曲線方程．
解答：解：根據題意，雙曲線的漸近線方程是y=±3x，
設雙曲線方程為 9x²-y²=λ（λ≠0），
∵雙曲線過點（3，-1），
∴9×9-1=λ，即λ=80．
∴所求雙曲線方程為 ；
（2）∵橢圓 的焦點坐標為（0，4）和（0，-4），
根據雙曲線的離心率為．則可設雙曲線方程為 y²-x²=a²（a＞0），
∵c=4，即 =4，
∴a=2．
故所求雙曲線方程為 ．
點評：本題考查雙曲線的標準方程的求法，考查雙曲線的標準方程以及橢圓的簡單幾何性質，注意區分并記憶橢圓、雙曲線的幾何性質及標準方程的形式．