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(2013•南通一模)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,tanC=
sinA+sinBcosA+cosB

(1)求角C的大小;
(2)若△ABC的外接圓直徑為1,求a2+b2的取值范圍.
分析:(1)在△ABC中,由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角和差的正弦公式化簡可得sin(C-A)=sin(B-C).
故有 C-A=B-C,或者C-A=π-(B-C) (不成立,舍去),即 2C=A+B,由此求得C的值.
(2)由于C=
π
3
,設(shè)A=
π
3
+α,B=
π
3
-α,-
π
3
<α<
π
3
,由正弦定理可得 a2+b2=sin2A+sin2B=
1+
1
2
cos2α.由-
3
<2α<
3
,根據(jù)余弦函數(shù)的定義域和值域求得 a2+b2的取值范圍.
解答:解:(1)在△ABC中,∵tanC=
sinA+sinB
cosA+cosB
,∴
sinC
cosC
=
sinA+sinB
cosA+cosB

化簡可得 sinCcosA-cosCsinA=sinBcosC-cosBsinC,即 sin(C-A)=sin(B-C).
∴C-A=B-C,或者C-A=π-(B-C) (不成立,舍去),即 2C=A+B,∴C=
π
3

(2)由于C=
π
3
,設(shè)A=
π
3
+α,B=
π
3
-α,-
π
3
<α<
π
3

由正弦定理可得 a=2rsinA=sinA,b=2rsinB=sinB,
∴a2+b2=sin2A+sin2B=
1-cos2A
2
+
1-cos2B
2
=1-
1
2
[cos(
3
+2α)+cos(
3
-2α)]
=1+
1
2
cos2α.
由-
3
<2α<
3
,可得-
1
2
<cos2α≤1,∴
3
4
<1+
1
2
cos2α≤
3
2
,即a2+b2的取值范圍為 (
3
4
3
2
].
點評:本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、余弦定理、余弦函數(shù)的定義域和值域、
兩角和差的正弦公式,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•南通一模)已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一個焦點與圓x2+y2-10x=0的圓心重合,且雙曲線的離心率等于
5
,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
5
-
y2
20
=1
x2
5
-
y2
20
=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•南通一模)已知命題p:“正數(shù)a的平方不等于0”,命題q:“若a不是正數(shù),則它的平方等于0”,則p是q的
否命題
否命題
.(從“逆命題、否命題、逆否命題、否定”中選一個填空)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•南通一模)曲線f(x)=
f′(1)
e
ex-f(0)x+
1
2
x2
在點(1,f(1))處的切線方程為
y=ex-
1
2
y=ex-
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•南通一模)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,S9=-36,S13=-104,則a5與a7的等比中項為
±4
2
±4
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•南通一模)已知數(shù)列{an}滿足:a1=2a-2,an+1=aan-1+1 (n∈N*)
(1)若a=-1,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若a=3,試證明:對?n∈N*,an是4的倍數(shù).

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