Question

已知定義在正實數集上的函數f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．設兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在公共點處的切線相同．
（1）若a=1，求b的值；
（2）用a表示b，并求b的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x，y）處的切線相同，先利用導數求出在切點處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用兩直線重合列出等式即可求得b值；
（2）利用（1）類似的方法，利用a的表達式來表示b，然后利用導數來研究b的最大值，研究此函數的最值問題，先求出函數的極值，結合函數的單調性，最后確定出最大值與最小值即得．
解答：解：（1）設y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x，y）處的切線相同．
f′（x）=x+2，g′（x）=，
由題意知f（x）=g（x），f′（x）=g′（x），
∴，
由x+2=得x=1或x=-3（舍去），即有b=．
（2）設y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x，y）處的切線相同、
f′（x）=x+2a，g′（x）=，
由題意f（x）=g（x），f′（x）=g′（x），
即由x+2a=得x=a或x=-3a（舍去），
即有b=a²+2a²-3a²lna=a²-3a²lna．
令h（t）=t²-3t²lnt（t＞0），則h′（t）=2t（1-3lnt）、
于是當t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜時，h′（t）＞0；
當t（1-3lnt）＜0，即t＞時，h′（t）＜0．
故h（t）在（0，）為增函數，在（，+∞）為減函數，于是h（t）在（0，+∞）的最大值為h（）=，
故b的最大值為．
點評：本小題主要考查利用導數求閉區間上函數的最值、利用導數研究曲線上某點切線方程、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．