Question

7．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{10x-1，x≤0}\\{{e}^{x}，x＞0}\end{array}\right.$（e為自然對數的底）．若函數g（x）=f（x）-kx恰好有兩個零點，則實數k的取值范圍是（　　）

• A． （1，e）
• B． （e，10]
• C． （1，10]
• D． （10，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=0得出f（x）=kx，做出y=kx與y=f（x）的函數圖象，則兩圖象有兩個交點，求出y=f（x）的過原點的切線的斜率即可得出k的范圍．

解答 解：令g（x）=0得f（x）=kx，
∵g（x）有兩個零點，
∴直線y=kx與y=f（x）有兩個交點，
做出y=kx和y=f（x）的函數圖象，如圖所示：

設y=k₁x與曲線y=e^x相切，切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}={e}^{{x}_{0}}}\\{{y}_{0}={e}^{{x}_{0}}}\\{{y}_{0}={k}_{1}{x}_{0}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1}\\{{y}_{0}=e}\\{{k}_{1}=e}\end{array}\right.$．
∵y=kx與y=f（x）有兩個交點，
∴k的取值范圍是（e，10]．
故選B．

點評 本題考查了函數零點的個數與函數的圖象的關系，屬于中檔題．