Question

設動直線x=m與函數f（x）=x²，g（x）=lnx的圖象分別于點M、N，則|MN|的最小值為（　　）

• A．

  1

  2

  +

  1

  2

  ln2
• B．

  1

  2

  -

  1

  2

  ln2
• C．1+ln2
• D．ln2-1

Answer 1

分析：將兩個函數作差，得到函數y=f（x）-g（x），再求此函數的最小值，即可得到結論．

解答：解：設函數y=f（x）-g（x）=x²-lnx（x＞0），
求導數得y′=2x-

1

x

=

2x2-1

x

（x＞0）
令y′＜0，∵x＞0，∴0＜x＜

2

2

∴函數在（0，

2

2

）上為單調減函數，
令y′＞0，∵x＞0，∴x＞

2

2

∴函數在（

2

2

，+∞）上為單調增函數，
∴x=

2

2

時，函數取得唯一的極小值，即最小值為：

1

2

-ln

2

2

=

1

2

+

1

2

ln2
故所求|MN|的最小值即為函數y的最小值：

1

2

+

1

2

ln2
故選A．

點評：本題考查導數知識的運用，解題的關鍵是構造函數，確定函數的單調性，從而求出函數的最值，屬中檔題．