Question

6．設(shè)x≥y＞0，若存在實(shí)數(shù)a，b滿足0≤a≤x，0≤b≤y，且（x-a）²+（y-b）²=x²+b²=y²+a²．則$\frac{y}{x}$的最大值為（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 不妨設(shè)定點(diǎn)O（0，0），M（0，y），P（a，0），Q（x，y-b），B（x，y），由（x-a）²+（y-b）²=x²+b²=y²+a²．得|PM|=|PQ|=|MQ|，可得：△MPQ是等邊三角形．不妨設(shè)∠OMP=θ，$（0≤θ≤\frac{π}{6}）$，∠BMQ=$\frac{π}{6}$-θ，可得：$\frac{x}{y}$=$\frac{|BM|}{|OM|}$=$\frac{|BM|}{|MQ|}•\frac{|PM|}{|OM|}$=$\frac{cos（\frac{π}{6}-θ）}{cosθ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{tanθ}{2}$，即可得出．

解答 解：不妨設(shè)定點(diǎn)O（0，0），M（0，y），P（a，0），Q（x，y-b），B（x，y），
由（x-a）²+（y-b）²=x²+b²=y²+a²．得|PM|=|PQ|=|MQ|，
∴△MPQ是等邊三角形．
不妨設(shè)∠OMP=θ，$（0≤θ≤\frac{π}{6}）$，則∠BMQ=$\frac{π}{6}$-θ，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{|BM|}{|OM|}$=$\frac{|BM|}{|MQ|}•\frac{|PM|}{|OM|}$=$\frac{cos（\frac{π}{6}-θ）}{cosθ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{tanθ}{2}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{tan\frac{π}{6}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)θ=$\frac{π}{6}$時取等號．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、圓的方程、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．