Question

【題目】設拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，準線為l，A為C上一點，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于B，D兩點．
（1）若p=2且∠BFD=90°時，求圓F的方程；
（2）若A，B，F三點在同一直線m上，設直線m與拋物線C的另一個交點為E，在y軸上求一點G，使得∠OGE=∠OGA．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得F（0，1），△BFD為等腰直角三角形，|BD|=4，

⊙F的半徑|FB|=2 ，

∴⊙F的方程是x2+（y﹣1）2=8；

（2）解：∵A，B，F三點在同一直線m上，

∴AB是⊙F的直徑，∠ADB=90°，

由拋物線的定義得|AD|=|FA|= |AB|，

∴∠ABD=30°，m的斜率是 或﹣ ，

①當m的斜率是 時，直線m的方程是：y= x+ ，

代入x2=2py，x2﹣ px﹣p2=0，（△＞0），

解得：x1= p，x2=﹣ p，

不妨記A（ p， p），E（﹣ p， ），并設G（0，y0），

∵∠OGE=∠OGA，∴KGE+KGA=0，

即 + =0，解得：y0=﹣ ，

②當m的斜率為﹣ 時，由圖象的對稱性可知G（0，﹣ ），

綜上，點G的坐標是（0，﹣ ）．

【解析】（1）求出圓的半徑，從而求出圓的方程；（2）由拋物線的定義得|AD|=|FA|= |AB|，從而求出m，代入拋物線進而求出G的坐標．