Question

13．設關于x的二次方程px²+（p-1）x+p+1=0有兩個不相等的正根，且一根大于另一根的兩倍，求p的取值范圍．

Answer 1

分析 根據根與系數的關系和判別式即可求出p的范圍．

解答 解：關于x的二次方程px²+（p-1）x+p+1=0有兩個不相等的正根，
則△=（p-1）²-4p（p+1）=-3p²-6p+1＞0，解得-1-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜p＜-1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
當x₁+x₂=$\frac{1-p}{p}$＞0，及x₁x₂=$\frac{p+1}{p}$＞0時，方程的兩根為正．解之，得0＜p＜1．故0＜p＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-1．
記x₁=$\frac{1-p-\sqrt{-3{p}^{2}-6p+1}}{2p}$，x₂=$\frac{1-p+\sqrt{-3{p}^{2}-6p+1}}{2p}$，
由x₂＞2x1，并注意p＞0，得3$\sqrt{-3{p}^{2}-6p+1}$＞1-p＞0，
∴28p²+52p-8＜0，即7p²+13p-2＜0．∴-2＜p＜$\frac{1}{7}$．
綜上得p的取值范圍為{p|0＜p＜$\frac{1}{7}$}．

點評 本題考查了一元二次方程根與系數的關系，屬于基礎題．