Question

（本小題滿分14分）已知函數．

（1）判斷的單調性；

（2）求函數的零點的個數；

（3）令，若函數在內有極值，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）在單調遞增；（2）2；（3）.

【解析】

試題分析：（1）令，求Φ'（x），通過Φ'（x）＞0可得單調性；（2）根據（1）的單調性，結合特殊值的符號，可確定零點的個數；（3）通過g'（x）求出g（x）的單調性，得到g（x）有兩個極值點，并得出兩個極值點的關系，通過其中一個極值點在內，可得另一個極值點的范圍，然后將a表示為這兩個極值點的關系式，求出范圍.

試題解析：（1）設，其中，，

∴在單調遞增 3分

（2）因為，，有在單調遞增

故在（1， 2）內有唯一零點 5分

又，顯然為一個零點，

因此在有且僅有2個零點 7分

（3）

9分

設，則有兩個不同的根x1， x2，且一根在內，

不妨設，由于，所以 12分

由于，則只需，即，

解得： 14分

考點：利用導數研究函數的性質，單調性，極值，零點，范圍.