Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且點在函數的圖象上．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設，求數列{b_n}的前n項和T_n；

Answer 1

【答案】分析：（1）把點代入函數f（x）中，得到，進而可得S_n，進而根據a_n+1=S_n+1-S_n，整理得a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n），
判定數列{a_n-2n}公比為2的為等比數列，a₁=S₁，求得a₁，最后根據等比數列的通項公式求得a_n-2n進而求得a_n．
（2）把（1）中求得的a_n代入中，化簡整理得b_n=（-2）ⁿ+（-1）ⁿ•2n進而根據等比數列的求和公式分n為奇數和偶數兩種情況求得T_n．
解答：解：（1）由題設知，
即S_n=2a_n+n²-3n-2，
∴S_n+1=2a_n+1+n²-n-4．
相減得a_n+1=2a_n+1-2a_n+2n-2，
∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n），
當n=1時，a₁=4．且a₁-2×1≠0；
∴a_n-2n=2•2^n-1=2ⁿ，即a_n=2n+2ⁿ．
（2）由知．
∴T_n=[-2+（-2）²+（-2）ⁿ]+2[-1+2-3+4-+（-1）ⁿ•n]．
當n為偶數時，；
當n為奇數時，．
故
點評：本題主要考查了數列求數列的通項公式和前n項和的求法．常把數列轉化成等比或等差數列來解決．