Question

已知x、y∈R,2y²-x²=1,則x²+4y²-4xy的最小值為_____________.

Answer 1

解法一：∵2xy≤x²+y²,∴x²+4y²-4xy≥x²+4y²-2(x²+y²)=2y²-x²=1.

    當且僅當x=y時取等號.

解法二：x²+4y²-4xy=(x-2y)².

    令t=|x-2y|,則問題轉化為求t=|x-2y|的最小值.而2y²-x²=1表示實軸在y軸上的雙曲線.

    當x-2y≥0時，t=x-2y,即直線x-2y-t=0與下支相切時,t最小;

    當x-2y≤0時，t=2y-x,即直線x-2y+t=0與上支相切時，t最小.

2·-x²=1,

x²±2tx+2-t²=0,

Δ=4t²-4(2-t²)=0.

∴t²=1.∴t=1或t=-1.

∴x²+4y²-4xy的最小值為1.

答案：1