Question

已知x，y∈R⁺，且滿足x+2y=xy，那么x+5y的最小值是

 

．

Answer 1

分析：依題意可得（x-2）（y-1）=2，再由基本不等式得x+5y=x-2+5（y-1）+7≥2

(x-2)•5(y-1)

+7．從而可求得x+5y的最小值．

解答：解：∵x+2y=xy
∴xy-2y-x+2=2，∴（x-2）（y-1）=2．
如果x-2＜0，y-1＜0，那么-2＜x-2＜0，-1＜y-1＜0則（x-2）（y-1）＜2，
所以只有x-2＞0，y-1＞0，才可能（x-2）（y-1）=2，
∴x+5y=x-2+5（y-1）+7≥2

(x-2)•5(y-1)

+7=7+2

10

，當且僅當x-2=5（y-1）時等號成立，
所以x+5y最小值是7+2

10

．
故答案為：7+2

10

．

點評：本題考查基本不等式，利用基本不等式將已知條件轉化為（x-2）（y-1）=2是關鍵，屬于基礎題．