Question

已知x，y∈R，則(x+y)2+(x-

2

y

)2的最小值為

4

．

Answer 1

分析：(x+y)2+(x-

2

y

)2表示（x，x）與（-y，

2

y

）兩點(diǎn)距離的平方，相應(yīng)動點(diǎn)的軌跡為直線y=x，曲線y=-

2

x

，求出與直線y=x平行，且與曲線y=-

2

x

相切的直線方程，則切點(diǎn)到直線的距離的平方為所求．

解答：解：(x+y)2+(x-

2

y

)2表示（x，x）與（-y，

2

y

）兩點(diǎn)距離的平方，相應(yīng)動點(diǎn)的軌跡為直線y=x，曲線y=-

2

x

求出與直線y=x平行，且與曲線y=-

2

x

相切的直線方程，則切點(diǎn)到直線的距離的平方為所求．
由y=-

2

x

可得y′=

2

x2

，令y′=

2

x2

=1，則x=±

2

，故可得切點(diǎn)的坐標(biāo)為(

2

，-

2

)，(-

2

，

2

)
由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=

2 2

2

=2
∴(x+y)2+(x-

2

y

)2的最小值為4
故答案為：4

點(diǎn)評：本題考查兩點(diǎn)間距離公式的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生分析解決問題的能力．