【題目】已知數列{
}的前n項和
(n為正整數)。
（1）令
，求證數列{
}是等差數列，并求數列{}的通項公式；
（2）令
，
試比較
與
的大小，并予以證明．
【答案】（1）
（2）當
，當
時
.
【解析】
試題分析：（1）已知
，一般利用
進行化簡條件，當
時，
，
，又
數列
是首項和公差均為1的等差數列，于是
.（2）由（1）得
，是等差乘等比型，所以其和求法為“錯位相減法”， 即得
.數列中比較大小，一般用作差，即
,而比較
的大小，有兩個思路，一是數學歸納法，二是二項展開式定理.
試題解析：（1）在中，令n=1，可得
，即
1
當時，
， 2
.
又數列
于是 .6
(2)由（1）得，所以
由①-②得
9
2
于是確定
的大小關系等價于比較的大小
猜想：當
證明如下：
證法1：（1）當n=3時，由猜想顯然成立．
（2）假設
時猜想成立．即
則
時，
所以當時猜想也成立
綜合（1）（2）可知 ，對一切的正整數，都有
證法2：當時
綜上所述，當，當時 14
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】空間中任意放置的棱長為2的正四面體
.下列命題正確的是_________.（寫出所有正確的命題的編號）
①正四面體的主視圖面積可能是
；
②正四面體的主視圖面積可能是
；
③正四面體的主視圖面積可能是
；
④正四面體的主視圖面積可能是2
⑤正四面體的主視圖面積可能是
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
為坐標原點，對于函數
，稱向量
為函數
的伴隨向量，同時稱函數
為向量
的伴隨函數．
（Ⅰ）設函數
，試求
的伴隨向量
；
（Ⅱ）記向量
的伴隨函數為
，求當
且
時
的值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）中函數
的圖像（縱坐標不變）橫坐標伸長為原來的
倍，再把整個圖像向右平移
個單位長度得到
的圖像。已知
，問在
的圖像上是否存在一點
，使得
.若存在，求出
點坐標；若不存在，說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（Ⅰ）當
時，求函數
的極小值；
（Ⅱ）當
時，過坐標原點
作曲線
的切線，設切點為
，求實數
的值；
（Ⅲ）設定義在
上的函數
在點
處的切線方程為
： 
，當
時，若
在
內恒成立，則稱
為函數
的“轉點”.當
時，試問函數
是否存在“轉點”.若存在，請求出“轉點”的橫坐標，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設等差數列
的前
項和為
，
，若
且
，數列
的前項和為
,且滿足
.
（Ⅰ）求數列的通項公式及數列
的前
項和
；
（Ⅱ）是否存在非零實數
，使得數列
為等比數列？并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市為了制定合理的節水方案，對居民用水情況進行了調查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照[0,0.5），[0.5,1），[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
（I）求直方圖中的a值；
（II）設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數，說明理由。
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