Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，求函數的極小值；

（Ⅱ）當時，過坐標原點作曲線的切線，設切點為，求實數的值；

（Ⅲ）設定義在上的函數在點處的切線方程為： ，當時，若在內恒成立，則稱為函數的“轉點”.當時，試問函數是否存在“轉點”.若存在，請求出“轉點”的橫坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）-2；（Ⅱ） ；（Ⅲ）參考解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求導數，再求導數零點，最后根據導數符號變化規律，確定極小值，（Ⅱ）根據導數幾何意義得切線的斜率等于切點處導數值，可得關于的方程，再利用導數研究單調性確定方程解的個數，最后根據估值得方程的解，（Ⅲ）先求切線方程得，再求函數導數，最后根據導函數的兩個零點必須相同得“轉點”.

試題解析：（Ⅰ）當時， ，

當時；當時；當時.

所以當時， 取到極小值-2.

（Ⅱ），所以切線的斜率，

整理得，顯然是這個方程的解，

又因為在上是增函數，

所以方程有唯一實數解，故.

（Ⅲ）當時，函數在其圖象上一點處的切線方程為，

設，則， ，

若， 在上單調遞減，所以當時，此時；

所以在上不存在“轉點”.

若時， 在上單調遞減，所以當時，此時，所以在上不存在“轉點”.

若時，即在上是增函數，

當時， ，

當時， ，即點為“轉點”，

故函數存在“轉點”，且2是“轉點”的橫坐標.