Question

已知焦點在x軸上的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦距為2

3

，長軸長為4．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于A，B兩點．
（1）證明：點O到直線AB的距離為定值，并求出這個定值；
（2）求|AB|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）首先根據條件求出橢圓的方程，
（Ⅱ）（1）用分類討論的方法先設直線的特殊形式，再設一般式，建立直線和橢圓的方程組，再利用韋達定理的應用求出關系量，（2）用三角形的面積相等，則利用點到直線的距離求出定值，最后利用不等式求出最小值．

解答： 解：（Ⅰ）2c=2

3

，2a=4，
所以：a=2，c=

3

則：b²=a²-c²=1
所以橢圓的標準方程為：

x2

4

+y2=1
解：（Ⅱ）（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
證明：①當直線AB的斜率不存在時，則△AOB為等腰直角三角形，不妨設直線OA：y=x
將y=x代入

x2

4

+y2=1，解得x=±

2

5

5

所以點O到直線AB的距離為d=

2

5

5

，
②當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓

x2

4

+y2=1
聯立消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
則：x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

因為OA⊥OB，所以：x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
即(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0
所以：(1+k2)

4m2-4

1+4k2

-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，
整理得：5m²=4（1+k²），
所以點O到直線AB的距離d=

|m|

1+k2

=

2 5

5

綜上可知點O到直線AB的距離為定值

2 5

5

．
解：（2）在Rt△AOB中，利用三角形面積相等，
利用點O到直線AB的距離為d，
則：d•|AB|=|OA|•|OB|
又因為2|OA|•|OB|≤|OA|²+|OB|²=|AB|²，所以|AB|²≥2d•|AB|
所以|AB|≥|AB|≥2d=

4 5

5

，
當|OA|=|OB|時取等號，即|AB|的最小值是

4

5

5

點評：本題考查的知識要點：橢圓標準方程的求法，直線和曲線的位置關系，點到直線的距離，韋達定理的應用，不等式的應用．屬于中檔題型．