Question

某旅游商品生產企業，2011年某商品生產的投入成本為1元/件，出廠價為1.2元/件，年銷售量為10000件，因2012年調整黃金周的影響，此企業為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價相應提高的比例為0.75x，同時預計銷售量增加的比例為0.8x．已知利潤=（出廠價-投入成本）×年銷售量．
（1）2011年該企業的利潤是多少？
（2）寫出2012年預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式；
（3）為使2012年的年利潤達到最大值，則每件投入成本增加的比例x應是多少？此時最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）根據利潤=（出廠價-投入成本）×年銷售量，可得2011年該企業的利潤；
（2）利用每件投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價相應提高的比例為0.75x，同時預計銷售量增加的比例為0.8x，可建立函數關系式；
（3）利用配方法，可求函數的最值．

解答：解：（1）根據利潤=（出廠價-投入成本）×年銷售量，可得2011年該企業的利潤是（1.2-1）×10000=2000元；
（2）∵每件投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價相應提高的比例為0.75x，同時預計銷售量增加的比例為0.8x
∴y=[1.2（1+0.75x）-（1+x）]×10000（1+0.8x）=200（10+3x-4x²），x∈（0，1）；
（3）∵y=-800(x-

3

8

)2+2112.5
∴當x=

3

8

時，y_max=2112.5
答：（1）2011年該企業的利潤是2000元；（2）2012年預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式為y=200（10+3x-4x²），x∈（0，1）；（3）當x=

3

8

時，y_max=2112.5．

點評：本小題主要考查建立函數關系，考查運用數學知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．