Question

已知函數f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx(a＞0)．
（1）若a=

1

2

，求f（x）在[1，+∞）上的最小值
（2）若a≠

1

2

，求函數f（x）的單調區間；
（3）當

1

2

＜a＜1時，函數f（x）在區間[1，2]上是否有零點，若有，求出零點，若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），利用導數符號判斷函數單調性，由單調性可求f（x）的最小值；
（2）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可求出f（x）的單調區間；
（3）用導數求出函數f（x）在區間[1，2]上最大值，由最大值符號可作出判斷．

解答：解：（1）當a=

1

2

時，f(x)=

1

4

x2-2x+2lnx(x＞0)，
f′（x）=

x

2

-2+

2

x

=

(x-2)2

2x

≥0，
∴f（x）在[1，+∞）是增函數，
∴f（x）的最小值為f（1）=-

7

4

．
（2）∵f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

（x＞0）．   
即 f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

（x＞0）．  
∵

1

a

-2=

1-2a

a

，∵a＞0，a≠

1

2

∴當0＜a＜

1

2

時，

1

a

＞2，由f′（x）＞0得0＜x＜2或x＞

1

a

，由f′（x）＜0，得2＜x＜

1

a

；
當a＞

1

2

時，

1

a

＜2，由f′（x）＞0得0＜x＜

1

a

或x＞2，由f′（x）＜0，得

1

a

＜x＜，2；
所以當0＜a＜

1

2

時，f（x）的單調遞增區間是（0，2]和[

1

a

，+∞)，單調遞減區間是[2，

1

a

]；
當a＞

1

2

時，f（x）的單調遞增區間是(0，

1

a

]和[2，+∞），單調遞減區間是[

1

a

，2]．
（3）先求f（x）在x∈[1，2]的最大值．由（2）可知，
當

1

2

＜a＜1時，f（x）在[1，

1

a

]上單調遞增，在[

1

a

，2]上單調遞減，
故f(x)max=f(

1

a

)=-2-

1

2a

-2lna．
由a＞

1

2

可知，lna＞ln

1

2

＞ln

1

e

=-1，2lna＞-2，-2lna＜2，
所以-2-2lna＜0，則f（x）_max＜0，
故在區間[1，2]上f（x）＜0．恒成立，
故當a＞

1

2

時，函數f（x）在區間[1，2]上沒有零點．

點評：本題考查函數的零點及應用導數研究函數的單調性問題，屬中檔題．