Question

已知函數f(x)=

1

3

ax3-

1

2

a2x2+2x+1，其中a∈R．
（1）若f（x）在x∈R時存在極值，求a的取值范圍；
（2）若f（x）在[-1，

1

2

]上是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導函數，通過討論當a=0時，當a≠0時，△=a⁴-8a≤0函數單調，不存在極值，其對立面即為f（x）在x∈R時存在極值時a的取值范圍；
（2）將f（x）在[-1，

1

2

]上是增函數，轉化為f′（x）≥0在（-1，

1

2

]恒成立，結合二次函數的圖象，通過對對稱軸及區間端點值的限制，列出不等式組求出a的范圍．

解答：解：由f（x）=

1

3

ax3-

1

2

a2x2+2x+1得：f′(x)=ax2-a2x+2
（1）①當a=0時，f'（x）=2＞0
∴f（x）單調遞增，
∴f（x）不存在極值
②當a≠0時，△=a⁴-8a≤0，即0＜a≤2，f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立
∴f（x）不存在極值a的范圍為0≤a≤2
∴f（x）存在極值a的范圍為a＜0或a＞2．
（2）由題意f′（x）≥0在（-1，

1

2

]恒成立
①當a=0時f'（x）=2＞0恒成立
∴a=0合題意
②當a＜0時

f′(-1)=a+a2+2≥0…a∈R f′( 1 2 )= 1 4 a- 1 2 a2+2≥0… 1- 65 4 ≤a≤ 1+ 65 4

∴

1- 65

4

≤a＜0
③當a＞0時f'（x）的對稱軸為x=

a

2

．
若0＜

a

2

≤

1

2

，則△=a4-8a≤0即0≤a≤2
∴0＜a≤1
若

a

2

＞

1

2

即a＞1則f′(x)在[-1，

1

2

]為單減函數

∴f′( 1 2 )≥0即 1 4 a- 1 2 a2

+2≥0．
∴

1- 65

4

≤a≤

1+ 65

4

綜上：①②③得：f（x）在[-1，

1

2

]上為增函數，
a的取值范圍是

1- 65

4

≤a≤

1+ 65

4

點評：解決函數在某區間上是單調函數，一般求出導函數，轉化為導函數大于等于0恒成立或小于等于0恒成立問題來解決．