Question

【題目】設函數f（x）的定義域為D，若存在閉區間[a，b]D，使得函數f（x）滿足：
①f（x）在[a，b]上是單調函數；
②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，則稱區間[a，b]是函數f（x）的“和諧區間”．
下列結論錯誤的是（ ）
A.函數f（x）=x2（x≥0）存在“和諧區間”
B.函數f（x）=2x（x∈R）存在“和諧區間”
C.函數f（x）= （x＞0）不存在“和諧區間”
D.函數f（x）=log2x（x＞0）存在“和諧區間”

Answer 1

【答案】D
【解析】解：A中，當x≥0時，f（x）=x2在[0，2]上是單調增函數，且f（x）在[0，2]上的值域是[0，4]，∴存在“和諧區間”，原命題正確；
B中，當x∈R時，f（x）=2x在[1，2]上是單調增函數，且f（x）在[1，2]上的值域是[2，4]，∴存在“和諧區間”，原命題正確；
C中，f（x）= （x＞0）是單調減函數，且f（x）在[1，2]上的值域是[ ，1]，∴不存在“和諧區間”，原命題正確；
D中，當x＞0時，f（x）=log2x是單調增函數，假設存在[a，b]滿足題意，則f（a）=2a，且f（b）=2b，即log2a=2a，且log2b=2b；
∴22a=a，且22b=b，即4a=a，且4b=b；這與函數的單調性矛盾，∴假設不成立，即函數不存在“和諧區間”，原命題不正確；
故選D．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的值域(求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的)．