Question

【題目】一緝私艇巡航至距領海邊界線l（一條南北方向的直線）3.8海里的A處，發現在其北偏東30°方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊，已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假設緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行．
（1）若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使得用最短時間在領海內攔截成功；（參考數據：sin17°≈ ， ≈5.7446）
（2）問：無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領海內成功攔截？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設緝私艇在C處與走私船相遇，則AC=3BC．

△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC= = ，

∴∠BAC=17°，

∴緝私艇應向北偏東47°方向追擊，

△ABC中，由余弦定理可得cos120°= ，∴BC≈1.68615．

B到邊界線l的距離為3.8﹣4sin30°=1.8，

∵1.68615＜1.8，

∴能最短時間在領海內攔截成功

（2）解：以A為原點，建立如圖所示的坐標系，則B（2，2 ），設緝私艇在P（x，y）出與走私船相遇，則PA=3PB，

即x2+y2=9[（x﹣2）2+（y﹣2 ）2]，即（x﹣ ）2+（y﹣ ）2= ，

∴P的軌跡是以（ ， ）為圓心， 為半徑的圓，

∵圓心到邊界線l：x=3.8的距離為1.55，大于圓的半徑，

∴無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇總能在領海內成功攔截．

【解析】（1）設緝私艇在C處與走私船相遇，則AC=3BC．△ABC中，由余弦定理、正弦定理即可求解；（2）建立坐標系，求出P的軌跡方程，即可解決．