Question

【題目】已知圓，點，直線.

（1）求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；

（2）在直線上（為坐標原點），存在定點（不同于點），滿足：對于圓上任一點，都有為一常數，試求所有滿足條件的點的坐標.

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：

（1）設所求直線方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑可得關于b的方程，解方程可得，則所求直線方程為

（2）方法1：假設存在這樣的點，由題意可得，則，然后證明為常數為即可.

方法2：假設存在這樣的點，使得為常數，則，據此得到關于的方程組，求解方程組可得存在點對于圓上任一點，都有為常數.

試題解析：

（1）設所求直線方程為，即，

∵直線與圓相切，∴，得，

∴所求直線方程為

（2）方法1：假設存在這樣的點，

當為圓與軸左交點時，；

當為圓與軸右交點時，，

依題意，，解得，（舍去），或.

下面證明點對于圓上任一點，都有為一常數.

設，則，

∴ ，

從而為常數.

方法2：假設存在這樣的點，使得為常數，則，

∴，將代入得，

，即

對恒成立，

∴，解得或（舍去），

所以存在點對于圓上任一點，都有為常數.

點睛：求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．

【題型】解答題
【結束】
22

【題目】已知函數的導函數為，其中為常數.

（1）當時，求的最大值，并推斷方程是否有實數解；

（2）若在區間上的最大值為-3，求的值.

Answer 1

【答案】(1)，方程沒有實數解；(2).

【解析】試題分析：

（1）當時，，.結合函數的單調性可得.

構造函數，則，利用導函數研究函數的單調性可得在上單調遞增；在上單調遞減，，據此可得方程沒有實數解.

（2）由題意可得，，.據此分類討論有：

①若，在上為增函數，不合題意.

②若，在上為增函數，在上為減函數，.令，可得.

綜上可得.

試題解析：

（1）∵，∴.

當時，，.

當時，；當時，.

∴在上是增函數，在上是減函數，.∴.

又令，，令，得.

當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減，

∴，∴，∴，即，

∴方程沒有實數解.

（2）∵，，∴.

①若，則，在上為增函數，∴不合題意.

②若，則由 ，即，由 ，即.

從而在上為增函數，在上為減函數，∴.

令，則，∴，即.

∵，∴為所求.