Question

(2006·福建)如下圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2，．

(1)求證：AO⊥平面BCD；

(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值；

(3)求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)證明：連接OC． ∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD． ∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD． 在△AOC中，由已知可得AO=1，． 而AC=2， ∴． ∴∠AOC=90°，即AO⊥OC． ∵， ∴AO⊥平面BCD． (2)以O為原點，如下圖建立空間直角坐標系， 則B(1，0，0)，D(－1，0，0)，，A(0，0，1)，，，． ∴． ∴異面直線AB與CD所成角的余弦值是． (3)設平面ACD的法向量為n=(x，y，z)，則 ∴ 令y=1，得是平面ACD的一個法向量．又， ∴點E到平面ACD的距離．