Question

3．如圖，A是△BCD所在平面外一點，M、N為△ABC和△ACD重心，BD=6；
（1）求MN的長；
（2）若A、C的位置發生變化，MN的位置和長度會改變嗎？

Answer 1

分析 （1）利用三角形的重心的性質，可得M、N分別是△ABC與△ACD的中線的一個三等分點，得$\frac{AM}{AE}=\frac{AN}{AF}$=$\frac{2}{3}$，由此利用平行線的性質與三角形中位線定理，算出MN與BD的關系，即可得到MN的長．
（2）由（1）可得位置改變，長度不改變．

解答 解：（1）延長AM、AN，分別交BC、CD于點E、F，連結EF．
∵M、N分別是△ABC和△ACD的重心，
∴AE、AF分別為△ABC和△ACD的中線，且$\frac{AM}{AE}=\frac{AN}{AF}$=$\frac{2}{3}$，
可得MN∥EF且MN=$\frac{2}{3}$EF，
∵EF為△BCD的中位線，可得EF=$\frac{1}{2}$BD，
∴MN=$\frac{1}{3}$BD=2；
（2）由（1）可得位置改變，長度不改變．

點評 本題著重考查了三角形的重心性質、平行線的性質和三角形的中位線定理等知識，屬于中檔題．