Question

已知S_n=·a₁+·a₁+…+a_n，n∈N^*.

（1）若S_n=n·2^n-1（n∈N^*），是否存在等差數列{a_n}對一切自然數n滿足上述等式？

（2）若數列{a_n}是公比為q(q≠±1)首項為1的等比數列，b₁+b₂+…+b_n=S_n2ⁿ(n∈N^*).求證：{b_n}是等比數列.

Answer 1

（1）解析：假設存在等差數列{a_n}滿足條件.設a_n=d_n+a,∴·a₁+·a₂+…+·a_n=d(+2+…+n)+a(++…+)=d(n·+n·+…+n·)+a·(2ⁿ-1)=d·n·2^n-1+a·(2ⁿ-1)=n·2^n-1.

令d=1，a=0滿足上式.

故存在等差數列{a_n}滿足題設.

（2）證明：a_n=,

∴S_n=［·（q-1）+·(q²-1)+…+(qⁿ-1)］

=［(+·q+·q²+…+·qⁿ)-( ++…+)］=［(1+q)ⁿ-2ⁿ］.

∴S_n2ⁿ=［(1+q2)ⁿ-1］.

當n≥2時，b_n=［()ⁿ-()^n-1］=·（）^n-1;

當n=1時，b₁==滿足上式 .

∴b_n=·（）^n-1.故{b_n}是首項為，公比為的等比數列.