Question

數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和為S_n，已知{S_n}是各項為正數且公比為q的等比數列，試比較

an+an+2

2

與an+1的大小．

Answer 1

分析：由已知根據等比數列通項公式，求出Sn的表達式，再利用數列中a_n與 Sn關系求出a_n，用作差法進行大小比較．

解答：解：由已知，s_n=q^{n-1，當n=1時}，a₁=1，當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=q^n-1-q^n-2=q^n-2（q-1）．
（1）n=1時，

a1+a3

2

-a2=

1+(q2-q)

2

-（q-1）=

q2-3q+3

2

=

1

2

(q-

3

2

)2+

3

8

＞0，即

a1+a3

2

＞a2
（2）n≥2時，

an+an+2

2

-an+1=

qn-2(q-1)+qn(q-1)

2

-qn-1(q-1)=

1

2

(q-1)qn-2 (q-1)2=
=

1

2

qn-2(q-1)3
∵q^n-2＞0
∴當q=1時，

an+an+2

2

=an+1；
當q＞1時，

an+an+2

2

＞an+1；
當0＜q＜1時，

an+an+2

2

＜an+1；

點評：本題考查等比數列通項公式、利用a_n，與Sn關系求通項、作差法比較大小、分類討論的思想．本題要注意對n，q進行分類討論．