Question

已知f(x)＝x³＋bx²＋cx＋2．

(Ⅰ)若f(x)在x＝1時，有極值－1，求b、c的值；

(Ⅱ)當b為非零實數時，證明f(x)的圖像不存在與直線(b²－c)x＋y＋1＝0平行的切線；

(Ⅲ)記函數|(x)|(－1≤x≤1)的最大值為M，求證：M≥．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)∵(x)＝3x2＋2bx＋c， 　　由f(x)在x＝1時，有極值－1得(2分) 　　即(3分) 　　當b＝1，c＝－5時， 　　(x)＝3x2＋2x－5＝(3x＋5)(x－1)， 　　當x＞1時，(x)＞0， 　　當－＜1時，(x)＜0． 　　從而符合在x＝1時，f(x)有極值，∴(4分); 　　(Ⅱ)假設f(x)圖像在x＝t處的切線與直線(b2－c)x＋y＋1＝0平行， 　　∵(t)＝3t2＋2bt＋c，直線(b2－c)x＋y＋1＝0的斜率為c－b2， 　　∴3t2＋2bt＋c＝c－b2，(7分) 　　即3t2＋2bt＋b2＝0． 　　∵Δ＝4(b2－3b2)＝－8b2， 　　又∵b≠0，∴Δ＜0． 　　從而方程3t2＋2bt＋b2＝0無解，因此不存在t，使(t)＝c－b2，卻f(x)的圖像不存在與直線(b2－c)x＋y＋1＝0平行的切線.(9分); 　　(Ⅲ)證法一：∵|f'(x)|＝|3(x＋)2＋c－|，①若|－|1，則M應是|(－1)|和|(1)|中最大的一個，∴2M|≥(－1)|＋|(1)|＝|3－2b＋c|＋|3＋2b＋c|≥|4b|＞12，∴M＞6，從而M≥．(11分) 　　②當－3≤b≤0時，2M≥|(－1)＋|(－)| 　　＝|3－2b＋c|＋|c－|≥|－2b＋3|＝|(b－3)2|≥3，所以M≥． 　　③當0＜b≤3時，2M≥|(1)|＋|(－)|＝|3＋2b＋c|＋|c－|≥|＋2b＋3| 　　＝|(b＋3)2|＞3，∴M≥． 　　綜上所述，M≥(14分) 　　證法二：(x)＝3x2＋2bx＋c的頂點坐標是()， 　　①若|－|＞1，則M應是|(－1)|和|(1)|中最大的一個， 　　∴2M≥|(－1)|＋|(1)|＝|3－2b＋c|＋|3＋2b＋c|≥4|b|＞12， 　　∴M＞6，從而M≥.(11分) 　　②若|－|≤1，則M是|(－1)|、|(1)|、||中最大的一個． 　　(i)當c≥－時，2M≥|(1)|＋|(－1))|≥|(1)|＋(－1)|＝|6＋2c|≥3，∴M≥; 　　(2)當c＜－時，M≥－c≥－c＞， 　　綜上所述，M≥成立．　　　　　　　(14分) 　　證法三：∵M是|(x)|，x∈[－1，1]的最大值， 　　∴M≥|(0)|，M≥|(1)|，M≥|(－1)|　　　　　　　　　(11分) 　　∴4M≥2|(0)|＋|(1)|＋|(－1)|≥|(1)＋(－1)－2(0)|＝6，即M≥．　　　　　　　(14分)