Question

已知函數f(x)=3sin(

x

2

+

π

6

)+3
（1）用五點法畫出它在一個周期內的閉區間上的圖象；
（2）求出f（x）的周期、單調增區間；
（3）說明此函數圖象可由y=sinx的圖象經怎樣的變換得到．

Answer 1

分析：（1）列表，令

x

2

+

π

6

 分別等于0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，求得對應的x，y值，以這五對x，y值作為點的坐標，在坐標系中描出，用平滑曲線連接，即得它在一個周期內的閉區間上的圖象．
（2）根據圖象寫出周期，由 2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，即得單調增區間．
（3）把y=sinx的圖象向左平移

π

6

個單位，再把各點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），再把各點的縱坐標變為原來的3倍（橫坐標不變），再把各點向上平移3個單位，即得函數y=3sin（

x

2

+

π

6

 ）+3
的圖象．

解答：解：（1）列表：

x 2 + π 6	0	π 2	π	3π 2	2 π
x	- π 3	2π 3	5π 3	8π 3	11π 3
y=3sin（2x+）+3	3	6	3	0	3

作圖：

（2）由圖象可得 周期T=4π，由 2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得  4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

，
故單調增區間為[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]，k∈z．
（3）把y=sinx的圖象向左平移

π

6

個單位，再把各點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），
再把各點的縱坐標變為原來的3倍（橫坐標不變），再把各點向上平移3個單位，即得函數y=3sin（

x

2

+

π

6

 ）+3
的圖象．

點評：本題考查用五點法作y=Asin（ωx+∅）+b的圖象，以及此函數的性質、圖象變換，用五點法作y=Asin（ωx+∅）+b的圖象，是解題的關鍵．