Question

一個等腰三角形底邊上的高等于4，底邊兩端的坐標是(-3，0)、(3，0)，求它的外接圓方程.

Answer 1

答案：
解析：

【探究】 由題設可知圓心在腰和底邊的中垂線上，可由任意兩條中垂線求得交點，即圓心，繼而由圓心及一端點坐標求得半徑長.本題也可以根據圖形，利用圓和三角形的幾何性質求解，利用數形結合的數學思想解決問題，計算相對簡單. 解法一：底邊端點關于原點對稱，所以底邊的中垂線方程為x=0， 底邊上的高等于4，說明第三個點的坐標為(0，4)， ① 一腰中垂線的方程為y-2=(x)或y+2=， ② 方程①②聯立得圓心坐標為(0，)或(0，)，半徑為.故所求圓的方程為x2+(y+)2=或x2+(y-)2=. 解法二：由題意，結合圖形可知： 利用射影定理有AO2=CO·DO，即32=4(2R-4)(R為三角形外接圓半徑)，解得R=，圓心坐標為(0，)或(0，)，即(0，)或(0，). 所以圓的方程為x2+(y+)2=或x2+(y-)2=. 【規律總結】 求圓的方程，就是要確定圓心和半徑，圓的標準方程中有三個未知量a、b、r，故確定一個圓需要三個獨立的條件，一般利用待定系數法確定.這需要把題目中的已知條件一一轉化為關于圓心坐標和半徑的方程，利用方程組獲得圓心和半徑的值，進而確定圓的方程.其基本步驟為:(1)根據題意，設所求的圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2；(2)根據已知條件，建立關于a、b、r的方程組；(3)解方程組，求出a、b、r的值，并把它們代入所設的方程中去，就得到所求圓的方程.不過有時利用圓的幾何性質解題，會有更簡捷的解題途徑.