Question

已知△ABC中，a、b、c分別是三個內角A、B、C的對邊，關于x的不等式x²cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集
（Ⅰ）求角C的最大值；
（Ⅱ）若，△ABC的面積，求當角C取最大值時a+b的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據不等式的性質可判斷出判別式小于或等于0且cosC＞0，求得cosC的范圍，進而根據余弦函數的單調性求得C的最大值．
（Ⅱ）根據（Ⅰ）中求得C，利用三角形面積公式求得ab的值，進而代入余弦定理求得a+b的值．
解答：解：（Ⅰ）∵不等式x²cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集．
∴，即，
即，
故，∴角C的最大值為60°．
（Ⅱ）當C=60°時，，∴ab=6，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC，
∴，
∴．
點評：本題主要考查了余弦定理的應用，解不等式問題．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．