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已知△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,且
(AB)2
=
AB
AC
+
BA
BC
+
CA
CB

(Ⅰ)判斷△ABC的形狀,并求t=sinA+sinB的取值范圍;
(Ⅱ)若不等式a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)≥kabc,對任意的滿足題意的a,b,c都成立,求k的取值范圍.
分析:(Ⅰ)由條件
(AB)2
=
AB
AC
+
BA
BC
+
CA
CB
,化簡可得
CA
CB
=0
.從而△ABC 是以C為直角頂點的直角三角形.喲與t=sinA+sinB=
2
sin(A+
π
4
),A∈(0,
π
2
),故可求sinA+sinB的取值范圍為(1,
2
]

(Ⅱ)條件a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)≥kabc,分離參數可得
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
abc
≥k,從而問題轉化為求
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
abc
的最小值,構造函數f(t)=
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
abc
=t+
1+t
t2-1
2
=t+
2
t-1
=t-1+
2
t-1
+1.從而問題可解.
解答:解:(Ⅰ)∵
(AB)2
=
AB
AC
+
BA
BC
+
CA
CB

(AB)2
=
AB
(
AC
+
CB
)  +
CA
CB
,即
AB2
=
AB
AB
+
CA
CB
,即
CA
CB
=0

∴△ABC 是以C為直角頂點的直角三角形.
∴sinA+sinB=sinA+cosA=
2
sin(A+
π
4
),A∈(0,
π
2
),
∴sinA+sinB的取值范圍為(1,
2
]
.-------------------------------------------(6分)
(Ⅱ)在直角△ABC中,a=csinA,b=ccosA.
若a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)≥kabc,對任意的滿足題意的a、b、c都成立,
則有
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
abc
≥k,對任意的滿足題意的a、b、c都成立,
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
abc

=
1
c3sinAcosA
[c2sin2A(ccosA+c)+c2cos2A(csinA+c)+c2(csinA+ccosA)]
=
1
sinAcosA
[sin2AcosA+cos2A sinA+1+cosA+sinA]=cosA+sinA+
1+cosA+sinA
sinAcosA

令t=sinA+cosA,t∈(1,
2
]
,-----------------------------------------(10分)
設f(t)=
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
abc
=t+
1+t
t2-1
2
=t+
2
t-1
=t-1+
2
t-1
+1.
f(t)=t-1+
2
t-1
+1,當t-1∈(0,
2
-1]
時 f(t)為單調遞減函數,
∴當t=
2
時取得最小值,最小值為2+3
2
,即k≤2+3
2

∴k的取值范圍為(-∞,2+3
2
].--------------------------(14分)
點評:本題主要考查三角形形狀的判斷,考查不等式恒成立問題,有一定的綜合性.
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已知△ABC中,A=60°,a=
15
,c=4,那么sinC=
2
5
5
2
5
5

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已知△ABC中,A(4,2),B(1,8),C(-1,8).
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已知△ABC中,a=2,b=1,C=60°,則邊長c=
3
3

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已知△ABC中,a=2
3
,若
m
=(-cos
A
2
,sin
A
2
)
n
=(cos
A
2
,sin
A
2
)
滿足
m
n
=
1
2
.(1)若△ABC的面積S=
3
,求b+c的值.(2)求b+c的取值范圍.

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