Question

如果圓柱軸截面的周長l為定值，則體積的最大值為

 

．

Answer 1

分析：設出圓柱的底面半徑和高，求出體積表達式，通過求導求出體積的最大值．

解答：解：設圓柱底面半徑R，高H，圓柱軸截面的周長l為定值，
則4R+2H=l，∴H=

l

2

-2R，
∴V=SH=πR²H=πR²（

l

2

-2R）=πR²

l

2

-2πR³，
求導：V'=πRl-6πR²，
令V'=0，可得πRl-6πR²=0，
∴πR（l-6R）=0，
∴l-6R=0，
∴R=

l

6

，
當R=

l

6

時，圓柱體積的有最大值，圓柱體積的最大值是：V=πR²

l

2

-2πR³=

πl3

216

．
故答案為：

πl3

216

．

點評：本題考查最值問題，考查導數知識的運用，確定體積表達式是關鍵．