Question

【題目】如圖,直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)☉O上的點(diǎn)C,并且OA=OB,CA=CB,☉O交直線(xiàn)OB于E,D兩點(diǎn),連接EC,CD.
（1）求證:直線(xiàn)AB是☉O的切線(xiàn);
（2）若tan∠CED= ,☉O的半徑為3,求OA的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖,連接OC,

∵OA=OB,CA=CB,

∴OC⊥AB.

∴AB是☉O的切線(xiàn).

（2）解：∵ED是直徑,

∴∠ECD=90°.

∴在Rt△ECD中,tan∠CED= .

∵BC是☉O的切線(xiàn),

∴BC2=BD·BE,∠BCD=∠E.

又∠CBD=∠EBC,

∴△BCD∽△BEC.

∴ .

設(shè)OA=x,則BD=OB-OD=x-3,BC=2BD=2（x-3）,BE=BO+OE=x+3,

∴[2（x-3）]2=（x-3）（x+3）,

解得x=5或x=3（舍去）.

∴OA=5.

【解析】本題主要考查了與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是:（1）轉(zhuǎn)化為證明OC⊥AB即可;（2）先證明△BCD∽△BEC,再借助于對(duì)應(yīng)邊成比例,解方程得OA的長(zhǎng)