Question

(本題滿分16分)

       設函數f(x)=ax³-(a+b)x²+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．

       (1)若=0，求函數f(x)的單調增區間；

(2)求證：當0≤x≤1時，||≤．(注：max{a，b}表示a，b中的最大值)

Answer 1

解：(1)由=0，得a=b． …………………………………………………………1分

故f(x)= ax³－2ax²+ax+c．

由=a(3x²－4x+1)=0，得x₁=，x₂=1．…………………………………………2分

列表：

x	(-∞，)		(，1)	1	(1，+∞)
	+	0	-	0	+
f(x)	增	極大值	減	極小值	增

由表可得，函數f(x)的單調增區間是(-∞，)及(1，+∞) ．…………………………4分

(2)=3ax²-2(a+b)x+b=3．

①當時，則在上是單調函數，

所以≤≤，或≤≤，且+=a>0．

所以||≤．………………………………………………………8分

②當，即-a＜b＜2a，則≤≤．

(i) 當-a＜b≤時，則0＜a+b≤．

所以  ＝＝≥＞0．

所以 ||≤． ……………………………………………………12分

(ii) 當＜b＜2a時，則＜0，即a²+b²－＜0．

所以=＞＞0，即＞．

所以  ||≤．

綜上所述：當0≤x≤1時，||≤．……………………………16分