Question

在平面直角坐標系xOy中,曲線C₁的參數方程為(φ為參數),曲線C₂的參數方程為(a>b>0,φ為參數),在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線l:θ=α與C₁,C₂各有一個交點.當α=0時,這兩個交點間的距離為2,當α=時,這兩個交點重合.
(1)分別說明C₁,C₂是什么曲線,并求出a與b的值.
(2)設當α=時,l與C₁,C₂的交點分別為A₁,B₁,當α=-時,l與C₁,C₂的交點為A₂,B₂,求四邊形A₁A₂B₂B₁的面積.

Answer 1

(1) C₁是圓,C₂是橢圓. a=3  b=1  (2)

(1)C₁是圓,C₂是橢圓.
當α=0時,射線l與C₁,C₂交點的直角坐標分別為(1,0),(a,0),因為這兩點間的距離為2,a>0,所以a=3.當α=時,射線l與C₁,C₂交點的直角坐標分別為(0,1),(0,b),因為這兩點重合,所以b=1.
(2) C₁,C₂的普通方程分別為x²+y²=1和+y²=1.
當α=時,射線l與C₁交點A₁的橫坐標為x=,與C₂交點B₁的橫坐標為x'=.
當α=-時,射線l與C₁,C₂的兩個交點A₂,B₂分別與A₁,B₁關于x軸對稱,因此,四邊形A₁A₂B₂B₁為梯形.
故四邊形A₁A₂B₂B₁的面積為=.