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4.在△ABC中,角A、B、C分別對應邊a,b,c.若9a2+9b2-19c2=0,求$\frac{\frac{1}{tanC}}{\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}}$的值.

分析 由題意可得 a2+b2=$\frac{19}{9}$c2,再利用同角三角函數的基本關系、正弦定理、余弦定理,化簡所給的式子,可得結果.

解答 解:△ABC中,∵9a2+9b2-19c2=0,∴a2+b2=$\frac{19}{9}$c2
$\frac{\frac{1}{tanC}}{\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}}$=$\frac{\frac{cosC}{sinC}}{\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}}$=$\frac{\frac{cosC}{sinC}}{\frac{sin(A+B)}{sinAsinB}}$=$\frac{sinAsinB}{{sin}^{2}C}$•cosC=$\frac{ab}{{c}^{2}}$•$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{{2c}^{2}}$=$\frac{\frac{1{0c}^{2}}{9}}{{2c}^{2}}$=$\frac{5}{9}$.

點評 本題主要考查同角三角函數的基本關系、正弦定理、余弦定理的應用,屬于中檔題.

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