Question

【題目】如圖，在三棱錐中， 兩兩垂直且相等，過的中點作平面∥，且分別交PB，PC于M、N，交的延長線于．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）運用線面垂直的判定和性質定理，以及線面平行的性質定理，即可得證；
（Ⅱ）以CA，CB，CP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，并設BC=2，求出點A，B，P，D，E，F的坐標，設平面PAB的法向量和平面DEF的法向量，由向量垂直的條件：數量積為0，即可得到法向量，再由向量的夾角公式，即可得到所求二面角的余弦值．

解析：

（1）證明：由BC⊥PC，BC⊥AC可知：BC⊥平面PAC，

又因為平面α∥BC，平面AEF過BC且與平面α交于EF，

所以EF∥BC．故EF⊥平面PAC；

（2）以CA，CB，CP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

并設BC=2．則A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），

設平面PAB的法向量，

D（1，0，1），E（﹣1，3，0），F（﹣1，0，0），

設平面DEF的法向量，

二面角P﹣DM﹣N的余弦值為．