Question

（2009•嘉定區一模）（理）已知函數f（x）=x|x-a|-a，x∈R．
（1）當a=1時，求滿足f（x）=x的x值；
（2）當a＞0時，寫出函數f（x）的單調遞增區間；
（3）當a＞0時，解關于x的不等式f（x）＜0（結果用區間表示）．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：f(x)=x|x-1|-1=

x2-x-1，x≥1 -x2+x-1，x＜1

，再分段討論f（x）=x，進而求出x的數值得到答案．
（2）由題意可得：f(x)=

x2-ax-a，x≥a -x2+ax-a，x＜a

，再分別討論進而根據二次函數的性質可得答案．
（3）由x|x-a|-a＜0，當x≥a時，則有x²-ax-a＜0，解得x∈[a ， 

a+ a2+4a

2

)．當x＜a時，-x²+ax-a＜0，即-(x-

a

2

)2+(

a2

4

-a)＜0，再分別討論

a2

4

-a＜0與

a2

4

-a≥0的情況，進而結合二次函數的性質得到答案．

解答：解：（1）當a=1時，f(x)=x|x-1|-1=

x2-x-1，x≥1 -x2+x-1，x＜1

，…（1分）
所以當x≥1時，由f（x）=x可得x²-x-1=x，即x²-2x-1=0，
所以解得x=1±

2

，
因為x≥1，
所以x=1+

2

．…（2分）
當x＜1時，由f（x）=x可得-x²+x-1=x，即x²=-1，無實數解．…（3分）
所以滿足f（x）=x的x值為1+

2

．…（4分）
（2）由題意可得：f(x)=

x2-ax-a，x≥a -x2+ax-a，x＜a

，…（5分）
因為a＞0，所以，當x≥a時，f(x)=(x-

a

2

)2-(

a2

4

+a)，的單調遞增區間是[a，+∞）；
當x＜a時，f(x)=-(x-

a

2

)2+(

a2

4

-a)，則根據二次函數的性質可得函數的單調遞增區間是(-∞，

a

2

]．…（8分）
（注：兩個區間寫出一個得（2分），寫出兩個得（3分），區間不分開閉）
所以，f（x）的單調遞增區間是(-∞，

a

2

]和[a，+∞）．…（9分）
（3）由x|x-a|-a＜0，
當x≥a時，則有x²-ax-a＜0，
因為f（a）=-a＜0，所以x∈[a ， 

a+ a2+4a

2

)．…（11分）
當x＜a時，-x²+ax-a＜0，即-(x-

a

2

)2+(

a2

4

-a)＜0，
當

a2

4

-a＜0，即0＜a＜4時，x∈（-∞，a）；…（13分）
當

a2

4

-a≥0，即a≥4時，x∈(-∞ ， 

a- a2-4a

2

)∪(

a+ a2-4a

2

 ， a)．…（14分）
綜上可得，當0＜a＜4時，x∈(-∞ ， 

a+ a2+4a

2

)，
當a≥4時，x∈(-∞ ， 

a- a2-4a

2

)∪(

a+ a2-4a

2

 ， 

a+ a2+4a

2

)．…（16分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握分段函數的有關性質，以及一元二次函數的有關性質與一元二次方程、一元二次不等式的求解方法，此題考查了方程、不等式、函數之間的轉化，轉化與化歸思想是數學上的一個很重要的數學思想方法，此題屬于難題．