Question

（2010•撫州模擬）已知數列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數列，且a₁=3，a₂=5，則

lim

n→∞

(

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

)=

1

．

Answer 1

分析：由題意，可先由數列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數列，且a₁=3，a₂=5得出數列{log₂（a_n-1）}的首項為1，公差為1，由此解出log₂（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，從而求出a_n=1+2ⁿ，再研究a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹+1-2ⁿ-1=2ⁿ即可得出

lim

n→∞

(

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

)=

lim

n→∞

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)，結合等比數列的求和公式計算出所求的極限即可

解答：解：數列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數列，且a₁=3，a₂=5
數列的公差為log₂4-log₂2=1，
故log₂（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，即a_n-1=2ⁿ，a_n=1+2ⁿ，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹+1-2ⁿ-1=2ⁿ
∴

lim

n→∞

(

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

)=

lim

n→∞

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)=

lim

n→∞

(

1 2 ×(1- 1 2n )

1- 1 2

)=

lim

n→∞

(1-

1

2n

)=1
故答案為1

點評：本題考查數列與極限的綜合，考查了等差數列的性質，通項公式，對數的運算，等比數列的求和等，涉及到的知識點多，綜合性強，解題的關鍵是由題設條件求出a_n=1+2ⁿ，難度較高