Question

如圖，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)求△ABP的面積取最大時直線l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)y＝－． 　　解析：(Ⅰ)由題：；(1) 　　左焦點(－c，0)到點P(2，1)的距離為：．(2) 　　由(1)(2)可解得：． 　　∴所求橢圓C的方程為：． 　　(Ⅱ)易得直線OP的方程：y＝x，設A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0． 　　∵A，B在橢圓上， 　　∴． 　　設直線AB的方程為l：y＝－(m≠0)， 　　代入橢圓：． 　　顯然． 　　∴－＜m＜且m≠0． 　　由上又有：＝m，＝． 　　∴|AB|＝||＝＝． 　　∵點P(2，1)到直線l的距離為：． 　　∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|， 　　當|m＋2|＝，即m＝－3or；m＝0(舍去)時，(SABP)max＝． 　　此時直線l的方程y＝－．