Question

如圖，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時直線l的方程．

Answer 1

【解析】

(Ⅰ)由題：； (1)

左焦點(﹣c，0)到點P(2，1)的距離為：． (2)

由(1) (2)可解得：．

∴所求橢圓C的方程為：．

(Ⅱ)易得直線OP的方程：y＝x，設A(x_A，y_A)，B(x_B，y_B)，R(x₀，y₀)．其中y₀＝x₀．

∵A，B在橢圓上，

∴．

設直線AB的方程為l：y＝﹣(m≠0)，

代入橢圓：．

顯然．

∴﹣＜m＜且m≠0．

由上又有：＝m，＝．

∴|AB|＝||＝＝．

∵點P(2，1)到直線l的距離為：．

∴S_ABP＝d|AB|＝|m＋2|，

當|m＋2|＝，即m＝﹣3  or  m＝0(舍去)時，(S_ABP)_max＝．

此時直線l的方程y＝﹣．

【答案】 (Ⅰ) ；(Ⅱ) y＝﹣．