Question

平面坐標(biāo)系中，A，B坐標(biāo)為A（-3，0），B（3，0），點(diǎn)P（x，y）滿足|PA|=2|PB|．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程C；
（2）如果過A的一條直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，且MN=6，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）由A、B及P的坐標(biāo)，根據(jù)|PA|=2|PB|，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式，整理后即可得到C的方程；
（2）由C的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑r，再由弦長MN，利用垂徑定理及勾股定理求出圓心到直線l的距離，設(shè)直線l的斜率為k，由A的坐標(biāo)與k表示出直線l的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出直線l的方程．

解答：解：（1）∵A（-3，0），B（3，0），點(diǎn)P（x，y）滿足|PA|=2|PB|，
∴

(x+3)2+y2

=2

(x-3)2+y2

，
整理得：（x-5）²+y²=16，
∴點(diǎn)P的軌跡方程C為（x-5）²+y²=16；
（2）∵弦長MN=6，半徑r=4，
∴圓心（5，0）到l距離d=

42-( 6 2 )2

=

7

，
設(shè)直線l的斜率為k，則有直線l為y=k（x+3）=kx+3k，
∴

|8k|

k2+1

=

7

，
解得：k=±

399

57

則直線l的方程為y=±

399

57

（x+3）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，以及直線的點(diǎn)斜式方程，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．