Question

【題目】已知數列{an}的首項為1，若對任意的n∈N*，數列{an}滿足an+1﹣3an＜2，則稱數列{an}具有性質L．

（Ⅰ）判斷下面兩個數列是否具有性質L：

①1，3，5，7，9，…；

②1，4，16，64，256，…；

（Ⅱ）若{an}是等差數列且具有性質L，其前n項和Sn滿足Sn＜2n2+2n（n∈N*），求數列{an}的公差d的取值范圍；

（Ⅲ）若{an}是公比為正整數的等比數列且具有性質L，設bn＝an（n∈N*），且數列{bn}不具有性質L，求數列{an}的通項公式．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1，3，5，7，9，…具有性質L，理由見解析；（Ⅱ）[0，4）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）根據題意利用an+1﹣3an＜2，驗證即可

（Ⅱ）利用等差數列的通項公式以及前項和公式，代入不等式即可求解.

（Ⅲ）利用等比數列的通項公式求出數列{an}的公比，{bn}不具有性質L，只需存在正整數m，使得bm+1﹣3bm≥2，，，進而可確定，利用等比數列的通項公式即可求解.

（Ⅰ）①1，3，5，7，9，…具有性質L．

理由如下：

對于數列1，3，5，7，9，…，其通項公式為an＝2n﹣1，n∈N*，

an+1﹣3an＝2n+1﹣3（2n﹣1）＝4﹣4n＜2，

∴1，3，5，7，9，…具有性質L．

②1，4，16，64，256，…不具有性質L．

理由如下：

對于數列1，4，16，64，256，…，

∵a3﹣3a2＝16﹣3×4＝4＞2，

∴1，4，16，64，256，…不具有性質L．

（Ⅱ）∵等差數列{an}具有性質L，∴an+1﹣3an＜2，

即1+nd﹣3[1+（n﹣1）d]＜2對n∈N*均成立，

∴（3﹣2n）d＜4對n∈N*均成立，當n＝1時，d＜4，

當n≥2時，d恒成立，

而0，（n≥2，n∈N*），∴d≥0，∴0≤d＜4，

∵a1＝1，得，

∴由題意n2n2+2n對n∈N*均成立，

∴當n＝1時，d∈R，當n≥2時，d恒成立，

∵4，∴d≤4．

∵，（n≥2，n∈N*），∴d≥0．∴0≤d＜4，

綜上，0≤d＜4．

∴數列{an}的公差d的取值范圍是[0，4）．

（Ⅲ）設數列{an}的公比為q，則qn﹣1，

∵公比為正整數的等比數列{an}具有性質L，

∴qn﹣3qn﹣1＜2，∴（q﹣3）qn﹣1＜2，∴q﹣3≤0，

若不然，q≥4，此時，（q﹣3）qn﹣1≥4n﹣1，不滿足條件，

∵q是正整數，∴q＝1，2，3，

∵{bn}不具有性質L，∴存在正整數m，使得bm+1﹣3bm≥2，

∴2，（）2，

∴，∴，

∵q∈{1，2，3}．∴q＝3，

當q＝3時，，滿足an+1﹣3an＜2．

∴數列{an}的通項公式為．