Question

設不等式x²+|x|-2≤0的解集為M．
（1）求集合M；
（2）若命題“?x∈M，ax³-3x+1≥0”為真，求實數a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）解不等式，求出不等式的解集．
（2）利用全稱命題為真命題，求出實數a的范圍．
解答：解：（1）原不等式等價為（|x|-1）（|x|+2）≤0，即|x|-1≤0，解的-1＜x＜1，所以M=（-1，1）．
（2）因為?x∈M，所以-1＜x＜1，
若x=0，則1≥0恒成立，
若0＜x≤1，則，，
則設，
由f'（x）＞0，解得0，此時函數單調遞增，由f'（x）＜0，解得，此時函數單調遞減，
所以當x=時，函數取得極大值，同時也是最大值為，所以此時a≥4．
若-1≤x＜0，則，，設，
當-1≤x＜0時，f'（x）＞0恒成立，此時函數單調遞增，
所以此時當x=-1時，函數取得最小值為，所以此時a≤4．
所以a=4．
點評：本題主要考查全稱命題的真假判斷和應用．