Question

設(shè)a、b∈R，關(guān)于x的方程x²+ax+b=0的實(shí)根為α、β．若|a|+|b|＜1，求證：|α|＜1，|β|＜1．

Answer 1

證明：法一：∵α+β=-a，αβ=b，
∴|α+β|+|αβ|=|a|+|b|＜1．
∴|α|-|β|+|α||β|＜1，（|α|-1）（|β|+1）＜0．
∴|α|＜1．同理，|β|＜1．
法二：設(shè)f（x）=x²+ax+b，則有
f（1）=1+a+b＞1-（|a|+|b|）＞1-1=0，
f（-1）=1-a+b＞1-（|a|+|b|）＞0．
∵0≤|a|＜1，∴-1＜a＜1．
∴-

1

2

＜-

a

2

＜

1

2

．
∴方程f（x）=0的兩實(shí)根在（-1，1）內(nèi)，即|α|＜1，|β|＜1．