Question

設(shè)a、b∈R，關(guān)于x的方程x²+ax+b=0的實(shí)根為α、β．若|a|+|b|＜1，求證：|α|＜1，|β|＜1．

Answer 1

分析：由于方程x²+ax+b=0的實(shí)根為α、β，由韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）我們可以給出a，b，α，β之間的關(guān)系，再結(jié)合|a|+|b|＜1，我們可以得到一個(gè)關(guān)于|α|，|β|的不等式，根據(jù)不等式的性質(zhì)易得：|α|＜1，|β|＜1；當(dāng)然分析待證結(jié)果：：|α|＜1，|β|＜1，我們可知，要證：|α|＜1，|β|＜1即證方程x²+ax+b=0的實(shí)根為α、β，均介于-1到1之間．

解答：證明：法一：∵α+β=-a，αβ=b，
∴|α+β|+|αβ|=|a|+|b|＜1．
∴|α|-|β|+|α||β|＜1，（|α|-1）（|β|+1）＜0．
∴|α|＜1．同理，|β|＜1．
法二：設(shè)f（x）=x²+ax+b，則有
f（1）=1+a+b＞1-（|a|+|b|）＞1-1=0，
f（-1）=1-a+b＞1-（|a|+|b|）＞0．
∵0≤|a|＜1，∴-1＜a＜1．
∴-

1

2

＜-

a

2

＜

1

2

．
∴方程f（x）=0的兩實(shí)根在（-1，1）內(nèi)，即|α|＜1，|β|＜1．

點(diǎn)評(píng)：證法一先利用韋達(dá)定理，再用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)恰好能分解因式，但在使用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)比較難轉(zhuǎn)化，是此法證明問題的一個(gè)瓶頸；證法二考慮根的分布，證兩根在（-1，1）內(nèi)，我們可以利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷，故建議大家熟練掌握．