設a、b∈R，關于x的方程x2+ax+b=0的實根為α、β．若|a|+|b|＜1，求證：|α|＜1，|β|＜1．
【答案】
分析：由于方程x
2+ax+b=0的實根為α、β，由韋達定理（根與系數的關系）我們可以給出a，b，α，β之間的關系，再結合|a|+|b|＜1，我們可以得到一個關于|α|，|β|的不等式，根據不等式的性質易得：|α|＜1，|β|＜1；當然分析待證結果：：|α|＜1，|β|＜1，我們可知，要證：|α|＜1，|β|＜1即證方程x
2+ax+b=0的實根為α、β，均介于-1到1之間．
解答：證明：法一：∵α+β=-a，αβ=b，
∴|α+β|+|αβ|=|a|+|b|＜1．
∴|α|-|β|+|α||β|＜1，（|α|-1）（|β|+1）＜0．
∴|α|＜1．同理，|β|＜1．
法二：設f（x）=x
2+ax+b，則有
f（1）=1+a+b＞1-（|a|+|b|）＞1-1=0，
f（-1）=1-a+b＞1-（|a|+|b|）＞0．
∵0≤|a|＜1，∴-1＜a＜1．
∴-
＜-
＜
．
∴方程f（x）=0的兩實根在（-1，1）內，即|α|＜1，|β|＜1．
點評：證法一先利用韋達定理，再用絕對值不等式的性質恰好能分解因式，但在使用絕對值不等式的性質比較難轉化，是此法證明問題的一個瓶頸；證法二考慮根的分布，證兩根在（-1，1）內，我們可以利用函數零點存在定理進行判斷，故建議大家熟練掌握．
