Question

半徑為1的球內切于一個圓錐，已知圓錐的母線與底面的夾角為60°，求證：

(1)圓錐母線長與底面半徑之和等于；

(2)圓錐全面積等于9π．

Answer 1

答案：
解析：

證明：作如下圖所示的軸截面圖(過球心與圓錐頂點的截面)． 　　(1)設圓錐的底面半徑為r，母線長為l， 　　∵D、E為切點，OD⊥BC，OE⊥AC， 　　且OD＝OE＝1，DC＝r，∠DCO＝30°， 　　∴r＝． 　　又∠AEO＝∠OEC＝90°， 　　∴O、D、C、E四點共圓． 　　∴∠AOE＝∠DCE＝60°． 　　在Rt△AOE中，AE＝tan60°，即l－r＝tan60°， 　　故l＝． 　　∴l＋r＝． 　　(2)S圓錐全＝πr2＋πrl＝9π．