Question

半徑為1的球內(nèi)切于一圓錐，則圓錐體積的最小值為

1. A.
   2π
2. B.
   
3. C.
   3π
4. D.
   

Answer 1

B
分析：設(shè)母線與底面的夾角2α，底面半徑R，內(nèi)切球半徑r=1，圓錐的高h(yuǎn)用α表示R，h，求出圓錐的體積V的表達(dá)式，利用基本不等式求出V_最小．
解答：設(shè)母線與底面的夾角2α，底面半徑R，內(nèi)切球半徑r=1，圓錐的高h(yuǎn) 則：R=r•cotα=cotα，h=R•tan2α=cotα•tan2α=，
圓錐的體積V==
=，
而2α＜90°，α＜45°，所以：tanα＜1，1-tan²α＞0 又因?yàn)椋簍an²α+（1-tan²α）=1=定值
所以：當(dāng)tan²α=1-tan²α，即tanα=時(shí)，V_最小==．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查球與圓錐的位置關(guān)系，幾何體的體積的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查空間想象能力計(jì)算能力．