Question

半徑為1的球內切于一圓錐，則圓錐體積的最小值為（　　）

• A．2π
• B．

  8π

  3

• C．3π
• D．

  11π

  3

Answer 1

分析：設母線與底面的夾角2α，底面半徑R，內切球半徑r=1，圓錐的高h用α表示R，h，求出圓錐的體積V的表達式，利用基本不等式求出V_最小．

解答：解：設母線與底面的夾角2α，底面半徑R，內切球半徑r=1，圓錐的高h 則：R=r•cotα=cotα，h=R•tan2α=cotα•tan2α=

2

1-tan2α

，
圓錐的體積V=

1

3

πR2h=

1

3

π ×(

1

tanα

)2×

2

1-tan2α

=

2π

3

×

1

(tan2α)(1-tan2α)

，
而2α＜90°，α＜45°，所以：tanα＜1，1-tan²α＞0 又因為：tan²α+（1-tan²α）=1=定值
所以：當tan²α=1-tan²α，即tanα=

2

2

時，V_最小=

2π

3

×

1

1 2 × 1 2

=

8π

3

．
故選B．

點評：本題考查球與圓錐的位置關系，幾何體的體積的求法，基本不等式的應用，考查空間想象能力計算能力．